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ヘロンの公式 とは？

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ヘロンの公式とは三角形の3辺の長さから面積を求める公式のことである。

出典: 『ウィキペディア（Wikipedia）』


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ウィキペディア（Wikipedia）記事


ヘロンの公式とは三角形の3辺の長さから面積を求める公式のことである。

長さa, b, cの線分を辺とする三角形がある時、面積をSとして

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

が成立するというもの。ただし、

s=\frac{1}{2}(a+b+c)

とする。

直線のみで囲まれた図形はどんなに複雑な形をしていようとも必ず三角形に分割することができ、かつ、この公式を使えば高さを求める必要が無いので土地の面積を求める便利な公式としても知られている（三辺法）。

この公式はアレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが現代ではこれ自体はアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。

証明

ヘロンの公式の証明法は色々あるが、ここでは三角比、余弦定理、因数分解を用いたものを紹介する。
△ABCの∠A、∠B、∠Cの対辺、辺BC、辺CA、辺ABの長さをそれぞれa, b, cとし、∠Aから辺BCに下ろした垂線の長さをh とする。
このとき△ABCの面積をSとすると、

\begin{align} S&=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2C}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\left(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\left(1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{2ab}\times\frac{-(a^2-2ab+b^2-c^2)}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}\times\frac{-\{(a-b)^2-c^2\}}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}\times\frac{-(a-b+c)(a-b-c)}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}\times\frac{(a-b+c)(-a+b+c)}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2c\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2a\}}{4a^2b^2}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{4}a^2b^2\times\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2a\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2c\}}{4a^2b^2}}\\ &=\sqrt{\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2a\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2c\}}{16}}\\ &=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{(a+b+c)-2a}{2}\times\frac{(a+b+c)-2b}{2}\times\frac{(a+b+c)-2c}{2}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{2}(a+b+c)\left\{\frac{1}{2}(a+b+c)-a\right\}\left\{\frac{1}{2}(a+b+c)-b\right\}\left\{\frac{1}{2}(a+b+c)-c\right\}}\\ \end{align}

となる。ここで、

s=\frac{1}{2}(a+b+c)

とすると、

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

が得られる。

関連項目

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