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外積 とは?

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外積(がいせき) (exterior product)は、2つのベクトルの間に定義される演算

出典: 『ウィキペディア(Wikipedia)』


和英辞典

外積 [がいせき] 別ウィンドウで表示  …  (n) cross product vector product outer product

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外積(がいせき) (exterior product)は、2つのベクトルの間に定義される演算

\alpha \wedge \beta

である。

発案者グラスマンにちなみグラスマン積 とも、記号からウェッジ積ともいう。後述する交代則より、交代積交テンソル積ともいう。

外積を使う代数外積代数という。またベクトル空間に対し、その元の外積集合を(2階の)外積空間という。

3次元での外積は、クロス積とみなすことができる。

目次

行列を使った定義

一般的な定義はテンソル積を参照。

n 次元ベクトル空間の基底\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n とし、その元のベクトルを

 \alpha = (a_i) = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^\operatorname{T} = a_i \sigma_i

と表すと、

 \alpha \wedge \beta = (a_i b_j - a_j b_i) = \begin{pmatrix}
0 & a_1 b_2 - a_2 b_1 & \cdots & a_1 b_n - a_n b_1 \\
a_2 b_1 - a_1 b_2 & 0 & \cdots & a_2 b_n - a_n b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n b_1 - a_1 b_n & a_n b_2 - a_2 b_n & \cdots & 0
\end{pmatrix}

と定義できる。

直積を使えば

 \alpha \wedge \beta = \alpha \circ \beta - \beta \circ \alpha

とも表せる。

基本的な性質

交代則

\alpha \wedge \beta = - \beta \wedge \alpha

が成り立つ。またこれに  \beta = \alpha \, を代入すれば、

\alpha \wedge \alpha = 0

が得られる。

分配則結合則

 (a \alpha + b \beta) \wedge \gamma = a \alpha \wedge \gamma  + b\beta \wedge \gamma
 (\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma = \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma)

が成り立つ。

双線形性

(a \alpha + b \beta) \wedge \gamma = a (\alpha \wedge \gamma) + b (\beta \wedge \gamma)
\alpha \wedge (b \beta + c \gamma) = b(\alpha \wedge \beta) + c (\alpha \wedge \gamma)

が成り立つ。

その他の性質

外積は2階の反対称テンソルである。したがって、n 次元の外積の次元は

 {}_n \operatorname{C} _2 = \frac{1}{2} n (n - 1)

である。

クロス積との関係

n 次元の外積は、ホッジ作用素 * により、n - 2 階の擬テンソルに写像できる。

3次元では、擬ベクトル(1階の擬テンソル)に写像される。これは、クロス積

 \alpha \times \beta = *(\alpha \wedge \beta)

に等しい。これを、反対称テンソルと擬ベクトルを等価とみなし、「外積はクロス積に等しい」ということがある。

同様に、2次元での外積擬スカラー(0階の擬テンソル)に写像できる。しかし、ホッジ作用素で階数を減らせるのは3次元以下だけである。


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