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村中 剛志 /
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目次 |
1. 離散型
確率空間を (Ω, F, P) としたとき、 高々可算個の値 {x1, x2, …} に対しては、
![E[X] = \sum_{i=1}^{\infty} x_i P(X = x_i)](http://upload.wikimedia.org/math/8/3/d/83d78a7195b533b445d0ee974391d41a.png)
と書く。
2. 連続型
確率空間を (Ω, F, P) としたとき、確率変数 X が可積分であるとは
を満たすことであり、期待値は可積分な確率変数 X にたいして
![E[X] = \int_{\Omega} X(\omega)\, dP(\omega)](http://upload.wikimedia.org/math/0/2/2/02229d80dca8667c8fa6b3b26810a389.png)
事象 A 
F にたいして、
![E[X : A] = E[1_AX] = \int_A X(\omega)\, dP(\omega)](http://upload.wikimedia.org/math/0/1/3/0135e8d1427a9d6a14a58a67fec878a6.png)
と書いて期待値をとる範囲を A に制限する。
期待値は積分によって定義されるので、積分のもつ性質をすべてもっている。
![E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y]\,](http://upload.wikimedia.org/math/5/c/1/5c101a9fdbdc41419577ef890fb2cf48.png)
![X \leq Y \Rightarrow E[X] \leq E[Y]](http://upload.wikimedia.org/math/b/c/b/bcb7b4ba31c286111ce4e47ce48b42fb.png)
![\varphi(E[X]) \leq E[\varphi(X)]](http://upload.wikimedia.org/math/d/c/9/dc9ab7824ec776cd0a27ee7c3c061b48.png)
![P(|X| > \varepsilon )\leq \frac{E[\varphi(X)]}{\varphi(\varepsilon)}](http://upload.wikimedia.org/math/9/1/8/9181ad467e1eeacf2cec19ed52d115a1.png)
さらに、二つの可積分確率変数 X と Y が独立の場合は
![E[XY] = E[X]E[Y]\,](http://upload.wikimedia.org/math/b/d/8/bd8ce6a147111fa246c5cce0f77a9697.png)
が成立する。
期待値は抽象的なルベーグ積分で定義されているので、計算するときには積分の変数変換をおこなって確率変数の分布で積分するのが普通である。確率変数 X の分布を PX とすると、任意の可測関数 f にたいして
![E[f(X)] = \int_{\Omega} f(X(\omega))\, dP(\omega) = \int_{\mathbb{R}} f(x)\, P_X(dx)](http://upload.wikimedia.org/math/6/6/2/662ccf501c6d1c1f03bc7641e3fddc56.png)
となり、さらに PX が確率密度関数 p を持つときは
![E[f(X)] = \int_{\mathbb{R}} f(x) p(x)\, dx](http://upload.wikimedia.org/math/c/f/4/cf4b2625f152ef64be732551ed97c437.png)
により、ルベーグ測度で計算できるようになる。
6面体のサイコロを1回振るものとして、その時に出る目の期待値を考える。出る目の確率はすべて
とする。
となり、サイコロの出る目の期待値は3.5だということがわかる。
次のようなゲームを考える。
このとき、貰える金額の期待値を求めると、
E = 20×(1/6) + 50×(1/6) + 100×(1/6)
+ 100×(1/6) + 150×(1/6) + 150×(1/6)
= 95
である。得られる金額の期待値95円が参加費100円を下回ることから、このゲームは参加者が得をする可能性もあるものの平均的には損をするということが分かる。特に回数を多く行なえば行なうほど、行なった回数×5円の損をした状態に限りなく近づく。
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（2008年8月30日）
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