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正四面体

正四面体（せいしめんたい、せいよんめんたい、regular tetrahedron）は、4枚の合同な正三角形を面とする四面体である。

最も頂点・辺・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元の正単体である。

なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。

性質

正四面体のペトリー多角形

立方体の中の正四面体（アニメGIF）

正四面体の対称性

シュレーフリ記号は {3,3}。
面の数は4、辺の数は6、頂点の数は4。これらは全て多面体で最少である。
自らと双対である（自己双対多面体）。
対角線は存在しない。
ペトリー多角形は正方形である。
立方体 (±1, ±1, ±1) の4つの頂点 (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) を結べば、正四面体になる。
正四面体の辺の中点を結べば、正八面体になる。逆に正八面体の互い違いの4面を延長すると、正四面体になる。

対称性

対称性は、

中心と頂点を通る直線について3回対称
中心と辺の中点を通る直線について4回反対称、したがって線対称（2回対称）
中心と辺を通る面について面対称

などである。

計量

辺の長さを $a\,$ とする。

面の面積	$A= \frac \sqrt 3 4 a^2$	$\approx 0.433012702 a^2$
表面積	$S = 4 A = \sqrt 3 a^2$	$\approx 1.732050808 a^2$
高さ	$h = \sqrt \frac 2 3 a$	$\approx 0.816496581 a$
体積	$V = \frac 1 3 A h = \frac 1 \sqrt {72} a^3$	$\approx 0.117851130 a^3$
辺と面のなす角	$\tan ^{-1} \sqrt 2$	$\approx 54.735610 ^\circ$
二面角	$\cos ^{-1} \frac 1 3 = \tan ^{-1} \sqrt 8$	$\approx 70.528779 ^\circ$
中心と頂点を結ぶ直線のなす角	$\frac \pi 2 + \sin ^{-1} \frac 1 3$	$\approx 109.471221 ^\circ$
頂点の立体角	$3 \cos ^{-1} \frac 1 3 - \pi$	$\approx 0.551285598 \ \mathrm{ sr }$
外接球（頂点を通る球）の半径	$R = \sqrt \frac 3 8 a$	$\approx 0.612372436 a$
内接球（面と接する球）の半径	$r = \frac 1 3 R = \frac 1 \sqrt {24} a$	$\approx 0.204124145 a$
中接球（辺と接する球）の半径	$r _ \mathrm M = \sqrt { r R } = \frac 1 \sqrt 8 a$	$\approx 0.353553391 a$
Radius of exspheres	$r _ \mathrm E = \frac 1 \sqrt 6 a$	$\approx 0.408248290 a$
Distance to exsphere center from a vertex	$\sqrt \frac 3 2 a$	$\approx 1.224744871 a$

正四面体から作られる図形

切頂する → 切頂四面体
2つを重ね合わせる → 星型八面体
2つを貼り合わせる → デルタ六面体
5つを4次元空間内で貼り合わせる → 正五胞体

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表・話・編・歴多面体

正多面体	正四面体 • 正六面体 • 正八面体 • 正十二面体 • 正二十面体

半正多面体	切頂四面体 • 切頂六面体 • 切頂八面体 • 切頂十二面体 • 切頂二十面体 • 立方八面体 • 二十・十二面体 • 斜方立方八面体 • 斜方二十・十二面体 • 斜方切頂立方八面体 • 斜方切頂二十・十二面体 • 変形立方体 • 変形十二面体

星型正多面体	小星型十二面体 • 大十二面体 • 大星型十二面体 • 大二十面体

アルキメデス双対	三方四面体 • 三方八面体 • 四方六面体 • 三方二十面体 • 五方十二面体 • 菱形十二面体 • 菱形三十面体 • 凧形二十四面体 • 凧形六十面体 • 六方八面体 • 六方二十面体 • 五角二十四面体 • 五角六十面体

その他の一様多面体	八面半八面体 • 四面半六面体 • 小立方立方八面体 • 大立方立方八面体 • 立方半八面体 • 立方切頂立方八面体 • 一様大斜方立方八面体 • 小斜方六面体 • 星型切頂六面体 • 大切頂立方八面体 • 大斜方六面体 • 小二重三角二十・十二面体 • 小二十・二十・十二面体 • 小変形二十・二十・十二面体 • 小十二・二十・十二面体 • 十二・十二面体 • 切頂大十二面体 • 斜方十二・十二面体 • 小斜方十二面体 • 変形十二・十二面体 • 二重三角十二・十二面体 • 大二重三角十二・二十・十二面体 • 小二重三角十二・二十・十二面体 • 二十・十二・十二面体 • 二十面切頂十二・十二面体 • 変形二十・十二・十二面体 • 大二重三角二十・十二面体 • 大二十・二十・十二面体 • 小二十面半十二面体 • 小十二・二十面体 • 小十二面半十二面体 • 大二十・十二面体 • 切頂大二十面体 • 斜方二十面体 • 大変形二十・十二面体 • 小星型切頂十二面体 • 切頂十二・十二面体 • 逆変形十二・十二面体 • 大十二・二十・十二面体 • 小十二面半二十面体 • 大十二・二十面体 • 大変形十二・二十・十二面体 • 大十二面半二十面体 • 大星型切頂十二面体 • 一様大斜方二十・十二面体 • 大切頂二十・十二面体 • 大逆変形二十・十二面体 • 大十二面半十二面体 • 大二十面半十二面体 • 小反屈変形二十・二十・十二面体 • 大斜方十二面体 • 大反屈変形二十・十二面体 • 大二重斜方二十・十二面体

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その他の多面体	二面体 • 五面体• 七面体• 十面体• 十四面体

その他の立体	球面 • 円柱 • 円錐 • トーラス

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正四面体（せいしめんたい、せいよんめんたい、regular tetrahedron）は、4枚の合同な正三角形を面とする四面体である。

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