正多角形（せいたかっけい、せいたかくけい）とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形である。

正多角形は線対称の図形であり、正n角形に対称軸はn本ある。また、正偶数角形は点対称の図形でもある。

辺の数が同じ正多角形どうしは全て互いに相似である。

目次 1 ユークリッド幾何学 1.1 コンパスと定規を用いて描けるもの 2 楕円幾何学 3 双曲幾何学 4 関連項目

ユークリッド幾何学

正多角形のすべての頂点は一つの円周上にある。つまり正多角形は円に内接する。最も角の数が少ないのは正三角形である。三角形では、すべての辺の長さが等しいもの、またはすべての角の大きさが等しいものは必ず正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さがすべて等しく、なおかつ角の大きさがすべて等しいものでなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であって必ずしも正四角形（正方形）にはならない。菱形でありなおかつ長方形でもある四角形が正方形である。

正n角形の一つの内角の大きさ（°）は

　である。

正n角形の面積は一辺を a とすると

　と求められる。

正多角形の重心は最長の対角線どうしの交点（正三角形を除く）や外接円および内接円の中心に一致する。

正多角形は、角(辺)の数が増えるごとに円に近づいていくので、「周の長さ÷外接円の直径」を角の数が多い正多角形で計算すると、円周率に近づいていく。これは、初期の円周率の求め方で、円周率の歴史上の始まりに位置する。

また、上記のことを言い換えると「正多角形の極限は円になる」ということになる。これはつまり、「正∞角形を円とする」ということである。このような見方をする場合も増えている。

コンパスと定規を用いて描けるもの

角の数が素数のものを正素数角形と呼ぶ。正素数角形のうち、描けるものは、角(辺)の数がフェルマー素数(3、5、17、257、65537)のもののみであり、正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形である。角の数が素数でないものについては、その数を素因数分解した時に奇数の因数がフェルマー素数のみでかつ、同じものが存在しない場合、または奇数の因数が存在しない（2の累乗数）場合のみ描くことが可能である。
例：正方形は、奇数の因数がないので(4=2×2)描くことができる。正六角形や正十五角形は、奇数の因数がフェルマー素数のみなので(6=2×3、15=3×5)描く事ができる。正九角形は、奇数の因数はフェルマー素数のみだが同じ数の重複があるので(9=3×3)描けない。
正十七角形の作図方法は、カール・フリードリヒ・ガウスが発見した。

楕円幾何学

以下の文章には正確性に疑問があります

もっとも角が少ないのは正二角形である。二角形は必ず正二角形になる。

この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形と同じ図形である。

双曲幾何学

以下の文章には正確性に疑問があります

もっとも角が少ないのは正三角形であり、内角の和は180°より小さい。

関連項目

• 星型正多角形
• 正多面体
• 正多胞体
• 多角数

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